Центральный угол имеет вершину в центре окружности. Вписанный угол имеет вершину на окружности, а его стороны содержат хорды.
Угол опирается на дугу между концами хорд. Для вписанного угла выбирают ту дугу, которая не содержит его вершину. Это важно и для малой, и для большой дуги.
Угол, опирающийся на диаметр
Если AB — диаметр, а P — любая другая точка окружности, ∠APB равен 90°.
Три положения вершины: угол над диаметром всегда прямой
Диаметр делит окружность на дуги по 180°. Вписанный угол вдвое меньше соответствующей дуги: 180° / 2 = 90°.
Пример: в таком треугольнике один острый угол равен 32°. Другой: 180° − 90° − 32° = 58°.
Центральный угол вдвое больше вписанного
Центральный и вписанный углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, связаны соотношением:
Дуга AB не содержит P: центральный угол 2a, вписанный a
Если центральный угол 100°, вписанный равен 50°. Если вписанный 35°, соответствующий центральный равен 70°.
Большая дуга: центральный угол 240°, вписанный 120°
Для большой дуги нужен центральный угол больше 180°. Нельзя подменять его меньшим углом между радиусами: тогда получится другая дуга.
Вписанный четырёхугольник
Четырёхугольник вписан в окружность, если все четыре вершины лежат на ней. Его противоположные углы в сумме дают 180°.
Противоположные пары A и C, B и D
Если ∠A = 72°, то ∠C = 108°. Если ∠B = 110°, то ∠D = 70°. Соседние углы не обязаны иметь сумму 180°.
Сумма всех четырёх углов равна 360°, как и у любого четырёхугольника.
Углы в одном сегменте
Точки P, Q и R расположены на одной дуге между A и B. Вписанные углы APB, AQB и ARB опираются на одну противоположную дугу и равны.
Три угла в одном сегменте равны 45°
Здесь дуга AB составляет 90°, поэтому все три угла равны 45°. Если вершину перенести в другой сегмент, новый угол будет 180° − 45° = 135°.
Всегда проверяй положение вершины относительно хорды и выбранной дуги.