При умножении вектора на число k каждую координату умножают на k. Длина результата равна |k|, умноженному на длину исходного вектора.
k·a = (k·ax; k·ay); |k·a| = |k|·|a|
Вектор a и удвоенный вектор 2a
Что меняет знак множителя?
k > 0
Направление сохраняется.
k < 0
Направление меняется на противоположное.
k = 0
Получается нулевой вектор.
Вектор a и вектор −3a
Если |k| > 1, вектор становится длиннее; если 0 < |k| < 1 — короче. Например, ½a имеет половину длины a.
О направлении говорим для ненулевого исходного вектора. Нулевой вектор остаётся нулевым при любом множителе.
Коллинеарные векторы
Ненулевые векторы называют коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Один из них получается умножением другого на число. Нулевой вектор считают коллинеарным любому вектору. Ненулевые коллинеарные векторы могут быть сонаправленными или противоположно направленными.
Чтобы проверить кратность, один и тот же множитель должен подходить к обеим координатам.
Например, (4; 6) = 2(2; 3), а (4; 5) нельзя получить умножением (2; 3) на одно число.
Точки на одной прямой
Пусть AB = (3; 2), AC = (−6; −4). Начало обоих векторов — точка A.
Получаем AC = −2AB. Поэтому точки A, B, C лежат на одной прямой, а C расположена от A в сторону, противоположную B.
Нужны ненулевой вектор AB и общее начало A. Параллельность векторов в разных местах сама по себе не доказывает, что все их концы находятся на одной прямой.