Векторы и геометрические доказательства

Средняя линия треугольника

В треугольнике PQR точки S и T — середины сторон PQ и PR. Докажем векторами, что ST параллельна QR и вдвое короче её.

Параллельность получится из равенства направленных векторов, а отношение длин — из положительного множителя ½.

Шаг 1. Назови два вектора

Обозначим PQ = a, PR = b. Начало обоих векторов — точка P.

Шаг 2. Запиши третью сторону

Из Q в R можно пройти через P: сначала против a, затем вдоль b.

Шаг 3. Запиши среднюю линию

Из S в T идём через P: SP = −½a, PT = ½b, поэтому ST = SP + PT.

Шаг 4. Сравни выражения

Получили ST = ½QR. Эти ненулевые векторы сонаправлены, значит отрезки параллельны. Модуль ST равен половине модуля QR.

Не только середины

Если PS = t·PQ и PT = t·PR при одном и том же t, то ST = t·(PR − PQ) = t·QR.

При 0 < t < 1 точки находятся внутри сторон, отрезок ST параллелен QR, а отношение длин равно t.

При t = ½ получаем среднюю линию. Если доли на двух сторонах различны, вывод о параллельности в общем случае неверен.